月初 初月 どっち？

正しい表現は「月初め」です。

「初」と「始」のどちらを使うべきか迷った時には、あまり深く考えずに覚えておくと良いです。「月はじめ」とは言いますが、「月始」とは通常言いません。これを念頭に置いておくと、理解しやすいでしょう。